CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI GIẢNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Trình bày được các tính chất, quy tắc biểu diễn vectơ.
+ Phát biểu được tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng.
 Kĩ năng
+

Chứng minh được các đẳng thức vectơ, biểu diễn được vectơ theo các vectơ không trùng
phương với nó.

+ Nắm được phương pháp chứng minh sự cùng phương của hai vectơ, tìm được điều kiện của ba
vectơ đồng phẳng.
+ Tính được góc giữa hai đường thẳng. Vận dụng được tích vô hướng của hai vectơ để giải các
bài toán.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
A. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Các định nghĩa
a) Vectơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt
điểm đầu và điểm cuối).

+) Ký hiệu vectơ: AB (điểm đầu là A, điểm cuối là B) hay
  
a, x, y,...
+) Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm
cuối của vectơ đó.
+) Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm
cuối của vectơ đó.

Sự cùng phương của hai vectơ

Bài giảng vectơ trong không gian, hai đường thẳng vuông góc

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm vững điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, điều kiện để hai mặt phẳng
vuông góc.
+ Nắm được định lý ba đường vuông góc.
+ Phát biểu và vận dụng được cách tìm thiết diện bằng quan hệ vuông góc.
 Kĩ năng
+

Chứng minh được đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

+

Chứng minh được hai mặt phẳng vuông góc.

+

Xác định được thiết diện và giải được các bài toán liên quan đến chu vi và diện tích của thiết
diện.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định nghĩa
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng   nếu d
vuông góc với mọi đường thằng a thuộc mặt phẳng   .
Kí hiệu: d    hay    d .

d     d  a, a   

Định lí
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi và chỉ khi nó vuông góc
với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng ấy.

d  a
d  b

 a    .

 a    , b   
a  b  M

Hệ quả
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì
nó cũng vuông góc với cạ

Bài giảng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

BÀI GIẢNG KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm vững khái niệm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, từ một điểm đến mặt phẳng
và khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng.
+

Nắm được khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

+ Nắm vững các tính chất về khoảng cách.
 Kĩ năng
+

Xác định được hình chiếu của một điểm đến đường thẳng và trên mặt phẳng.

+

Biết cách tính khoảng cách trong từng trường hợp.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Cho điểm O và đường thẳng  . Gọi H là hình
chiếu vuông góc của O trên  . Khi đó khoảng cách
OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến  .

d  O,    OH .

Nhận xét: OH  OM , M  

Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho mặt phẳng   và một điểm O. Gọi H là hình
chiếu của O trên mặt phẳng   . Khi đó khoảng
cách OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến
mặt phẳng   .

d  O,     OH .

Nhận xét: OH  OM , M   

Trang 1

Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt
phẳng

Cho đ

Bài giảng khoảng cách trong không gian

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI GIẢNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được khái niệm góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa
hai mặt phẳng.
+ Nắm được phương pháp tính góc trong mỗi trường hợp cụ thể.
 Kĩ năng
+ Thành thạo các bước tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc
giữa hai mặt phẳng.
+

Vận dụng các quy tắc tính góc vào giải các bài tập liên quan.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b.

Nhận xét:
Để xác định góc giữa hai đường thẳng a, b ta lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ
đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

 
,  P     d
, d   
AIH .
b) d   P    d
a) d   P   d
,  P   90o ;

(với d' là hình chiếu của d lên (P)).





Chú ý: 0o  d
,  P   90o

Bài giảng góc trong không gian

CHỦ ĐỀ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Góc giữa hai mặt phẳng
a) Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng đó.

b) Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:
Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng  P  ;  Q  .
Lấy A  mp  Q  , dựng AB  mp  P   B   P   .
Vẽ BH vuông góc với d thì AH vuông góc d .
Vậy 
AHB    0    90o  là góc giữa hai mặt phẳng  P  và  Q  .

c) Công thức diện tích hình chiếu:

Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng  P  và S  là diện tích hình chiếu H  của H trên mặt
phẳng  P  thì S   S cos , trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng  P  và  P  .
Hay như hình vẽ trên ta có S ABC   S ABC .cos 
Trang 1

2) Hai mặt phẳng vuông góc
a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o.
b) Định lý 1: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt
phẳng đó vuông góc với nhau.

c) Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng  P  và  Q  vuông góc với nhau th

Tài liệu chủ đề hai mặt phẳng vuông góc

CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
a) Định nghĩa:
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng  P  nếu
d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng  P  .

b) Định lý: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt
phẳng  P  thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P  .
c) Các tính chất
 Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng  P  đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một
đường thẳng a cho trước.
 Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng Δ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với mặt
phẳng  P  cho trước.
 Tính chất 3:
a) Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường
thẳng còn lại.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Tính chất 3 được viết gọn là:

a // b
 
  P  b .
 P   a
a   P 

 b   P   a // b
a  b


 Tính chất 4:
a) Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặ

Tài liệu chủ đề đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

CHỦ ĐỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian



 Góc giữa hai vectơ a và b khác 0 được định nghĩa bằng góc
   

AOB với OA  a ; OB  b .



Nếu a hoặc b bằng 0 ta quy ước góc giữa chúng có thể nhận một giá
trị tùy ý.




 Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, được ký hiệu a.b và
  
 
được xác định bởi a.b  a . b cos a; b từ đó suy ra cosin góc giữa hai


 


a.b
vectơ a và b là cos a; b   
a.b

 

 

 
 

Đặc biệt khi a  b  cos a; b  0  a.b  0 .

 

 Tính chất của tích vô hướng:
  
Cho 3 vectơ a ; b ; c và số thực k . Khi đó ta có:
    
 
i) a.b  b.a .
ii) a b  c  a.b  a.c .



 
  
iii) k a .b  k a.b  a. kb .

 

 

 



 2 2
iv) a  a .

2) Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

 Định nghĩa:
Trong không gian cho 2 đường thẳng a , b bất kỳ. Từ một điểm O
nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a , b lần lượt song song với a và

b . Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường
thẳng a và b không thay đổi.
Do đó ta có

Tài liệu chủ đề hai đường thẳng vuông góc

CH       4: QUAN H    VUÔNG GÓC V    1: ĐƯỜ NG TH  NG VUÔNG GÓC V  I M  T PH  NG  I. Định nghĩa:   ng th  ng   d    c g  i là vuông góc v  i m  t ph  ng   (P)   n  u   d   vuông góc v  i m  ng th  ng n  m trong m  t ph  ng   (P).   nh lý : N  ng th  ng   d   vuông góc v  ng th  ng c  t nhau   a   và   b   cùng n  m trong m  t ph  ng  (P)   thì đườ ng th  ng   d   vuông góc v  i m  t ph  ng   (P).  II. Các tính ch  t     Tính ch  t 1:   Có duy nh  t m  t m  t ph  ng   (P)    m   O   cho trướ c và vuông góc v  i m  t   ng th  ng   a   cho trướ c.     Tính ch  t 2:   Có duy nh  t m  ng th  m   O   cho trướ c và vuông góc v  i m  t ph  ng   (P)   cho trướ c.     Tính ch  t 3:  a) M  t ph  ng nào vuông góc v  i m  ng th  ng th  ng còn l  i.  b) Hai đườ ng th  ng phân bi  t cùng vuông góc v  i m  t m  t ph  ng thì song song v  i nhau. Tính ch  c vi  t g  n là:     a / /b   (P)   b (P)   a                 a   (P) b   (P)   a / /b a   b                     Tính ch  t 4:  a) Đườ ng th  ng nào vuông góc v  i m  t trong hai m  t ph    vuông góc v  i m  t ph  ng còn l  i. b) Hai m  t ph  ng phân bi  t cùng vuông góc v  i m  ng th  ng thì song song v  i nhau. Tính ch  c vi  t g  n là:     (P) / /(Q)   a   (Q) a   (P)                 a   (P) b   (P)   (P) / /(Q) (P)   (Q)                   Tính ch  t 5:  a) Cho đườ ng th  ng   a   và m  t ph  ng   (P)   song song v  ng th  ng nào vuông góc v  i   (P)   thì cũng  song song v  i   a . b) N  u m  ng th  ng và m  t m  t ph  ng (không ch  ng th  i m  ng th  ng thì chúng song song v  i nhau. Tính ch  c vi  t g  n là:     a / /(P)   a   b b   (P)                 a   (P) a   b   a / /(P) (P)   b                  III. Định lý ba đườ ng vuông góc   ng vuông góc:   Cho đườ ng th  ng   a   không vuông góc v  i m  t ph  ng   (P)   và đườ ng th  ng   b  n  m trong m  t ph  ng   (P).   Khi đó, điề u ki  n c       b   vuông góc v  i   a   là   b   vuông góc v  i hình chi  u  a’   c  a   a   trên   (P).  IV. Góc gi  ng th  ng và m  t ph  ng     N  ng th  ng   a   vuông góc v  i m  t ph  ng   (P)   thì ta nói r  ng góc gi  ng th  ng   a   và m  t ph  ng   (P)   b  ng 90° (hình 1). N  ng th  ng   a   không vuông góc v  i m  t ph  ng   (P)   thì góc gi  a   a   và hình chi  u   a’   c  a nó trên   (P)   c g  i là góc gi  ng th  ng   a   và m  t ph  ng   (P)   (hình 2).  Chú ý: Góc gi  ng th  ng và m  t ph  t quá 90°.     D  ng 1: Ch  ng th  ng vuông góc v  i m  t ph  ng.

Chuyên đề trắc nghiệm quan hệ vuông góc

CH       3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN  I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM  1.     Vectơ trong không gian là một đoạn thằng có hướng. Kí hiệ u   AB      chỉ   vectơ có điểm đầu A, điểm  cu    a     ,   b     c     ,...  2.   Các quy t  c v    vectơ     Quy t  m:   AC   AB   BC =   +             hoặ c   AC   BC   BA =                  Quy t  c hình bình hành:   Cho hình bình hành   ACBD   ta có:   AC   AB   AD =   +              Quy t  m:   N  u   M   là trung điểm của   AB   thì  0 MA   MB +   =             Quy t  c trung tuy  n:   N  u   AP   là trung tuyến của tam giác   ABC   thì   (   ) 1 2  AP   AB   AC =   +            Tương tự   hình bên ta có:   2 2  BA   BC   BN CB   CA   CM     +   =     +   =                           Quy t  c tr  ng tâm:   N  u   G   là trọng tâm tam giác   ABC  thì   0 GA   GB   GC +   +   =               Khi đó với mọi điểm   M   ta có:   3 MA   MB   MC   MG +   +   =                  Quy t  c hình h  p:   Cho hình hộ p   ABCD.A’B’C’D’  thì   '   ' AB   AD   AA   AC +   +   =               Ch  ng minh:  Ta có:   ACC’A’   là hình bình hành nên   '   ' AC   AC   AA =   +           Tương tự:   AC   AB   AD =   +            suy ra   '   ' AC   AB   AD   AA =   +   +               Chú ý:   N  u   G   là trong tâm tứ   diện   ABCD , ta có:  0 GA   GB   GC   GD +   +   +   =                  3.   S     ng ph  ng c    va vectơ đồ ng ph  ng     Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.     ba vectơ đồ ng ph  ng:      nh lí 1:         ba vectơ   a     ,   b     ,   c        a     và   b     cùng phương hoặ c t    m, n   duy nhất sao cho   .   . c   m a   n b =   +            nh lí 2:   N  u   a     ,   b     ,   c     là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ   d      trong không gian, ta tìm được các số   m, n, p   duy nhất sao cho  4.   Tích vô hướ ng c   Góc giữa 2 vectơ   a     và   b     khác   0      góc   AOB   v    OA   a =         ;   OB   b =       N  u   a     hoặ c   b     bằng   0     ta quy ư ớc góc giữa chúng có thể  nhận một giá trị   tùy ý.  Tích vô hướng giữa 2 vectơ   a     và   b     là mộ t s  hiệ u   . a b     và được xác định bởi   (   ) .   .   cos   ; a b   a   b   a b =              t       2   vectơ   a     và   b     là  (   )   . cos   ;   .  a b a b   a   b  =              (   ) cos   ;   0   .   0 a   b   a b   a b       =      =             Tính ch  t:   Cho 3 vectơ   a     ,   b     ,   c     và số   thự c   k . Khi đó ta có:  i)   .   . a b   b a =        ii)   (   )   .   . a b   c   a b   a c +   =   +                iii)   (   )   (   )   (   ) .   . k a b   k a b   a   kb =   +                iv)   2   2  a   a =       Vectơ chỉ   phương của đườ ng th  ng:  Vectơ   0 a              phương của đường thằng   d   nếu giá của vectơ   a     song song hoặc trùng  v    d  M    d   trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm   A   thuộ c   d   và một vectơ chỉ  phương   a     c    d .   ng d  ng c  ng  Tính độ   dài đoạn thẳng   AB :   2  AB   AB   AB =   =         Xác định góc giữa hai vectơ:   (   )   . cos   ;   .  a b a b   a   b  =           II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Dạ ng 1: Ch  ng th  ng ph  ng .  Phương pháp giả i:     chứng minh ba vectơ      chứng mình bằng một trong các cách:     Chứng minh các   giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.

Chuyên đề trắc nghiệm vectơ trong không gian

CH       6: BÀI TOÁN KHO  NG CÁCH V    1: KHO  NG CÁCH T     N M  T PH  NG    ng 1: Kho  ng cách t    m  m trên m  t ph  t ph  ng ch  ng cao  Xét bài toán:   Cho hình chóp có đỉ nh   S   có hình chi  u vuông góc lên m    H . Tính kho    m   A   b  n m  t bên   (   ) SHB   . K    AH   HB    ta có:  (   )  AK   HB   AK   SHB AK   SH                Suy ra   (   ) (   ) ; d   A   SHB   AK =   .  Cách tính:   Ta có:   (   ) (   )   2 ;   AHB S d   A   SHB   AK   HB  =   =      sin   .sin AB   ABK   AH   AHK =   =   .  Ví   d    1:   Cho   hình chóp   S.ABC   có      tam   giác   ABC   có    3 ,   2 ,   60 AB   a BC   a ABC =   =   =      .   Bi  t  (   ) SA   ABC    . a) Tính kho    C    n m  t ph  ng   (   ) SAB   . b) Tính kho    B    n m  t ph  ng   (   ) SAC   .  L  i gi  i  a) D  ng   CH   AB    ta có:   (   )  CH   AB   CH   SAB CH   SA                Do đó  (   ) (   )    ;   sin   2   sin 60   3 d C   SAB   CH   CB   ABH   a   a =   =   =      . b) D  ng   (   ) CK   AC   CK   SAC          . Ta có:   (   ) (   )    2   .   sin ;   ABC S   AB BC   ABC d   B   SAC   CH   AC   AC  =   =   =  Trong đó    2   2   2   2   .   cos AC   AB   BC   BA BC   B =   +     (   ) (   )   3 .2 .sin 60   3   21 7   ;   7 7  a   a   a AC   a   d   B   SAC   a      =      =   =   .  Ví d    2:   Cho hình chóp   S.ABCD   có đáy là hình   ch    nh  t v  i   ,   3 B   a AD   a =   =   . Tam giác SAB cân tại S và  thu  c m  t ph  ng vuông góc v  a AB. a) Tính kho    A    n m  t ph  ng   (   ) SHD .b) Tính kho  ng cách t    D         (   ) SHC   .  L  i gi  i  a)   Do tam giác   SAB   cân tạ i   S   nên   SH   AB    . Ta có:   2  a HA   HD =   =   . M    (   )   (   )   (   ) SAB   ABCD   SH   ABCD          . D  ng   (   )   (   ) (   ) ; AE   DH   AE   SHD   d   A   SHD   AE             =   . M    2   2 .   39 13  AH AD   a AE   AH   AD  =   = +   . b) D  ng   (   ) (   ) ; DK   CH   d   D   SHC   DK       =   . Ta có:   2   2   13 2  a CH   HB   BC =   +   =   ,   (   )   2 1   1   3 .   ;   . .   3 2   2   2  HCD a S   CD d   H CD   a a =   =   =   .  Do đó   (   ) (   )   2   2   39 D;   13  HCD S   a d   SHC   CH  =   =   .  Ví d    3 :   Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông t  i A và B có   3 AD   a =   ,   2 AB   BC   a =   =   . Bi   (   ) SA   ABCD    . a) Tính kho    C    n m  t ph  ng   (   ) SAD   . b) Tính kho    D    n m  t ph  ng   (   ) SAC   .  L  i gi  i  a) D  ng   (   ) CE   AD   CE   SAD          .  Khi đó   (   ) (   ) ; d C   SAD   CE =   , do ABCE là hình vuông cạ nh   2 a   nên  (   ) (   ) 2   ;   2 CE   AE   a   d C   SAD   a =   =      =   . b) D  ng   (   ) DH   AC   DH   SAC          .  Khi đó   (   ) (   ) ; d   D   SAC   DH =   .  Ta có: ABCE là hình vuông nên      45 CAD   =      .  Do đó   2   3   2 DH   ADsin 45   3 . 2   2  a a =      =   .  Ví d    4 : Cho hình chóp   S.ABC D có     y   ABCD   là hình vuông c    5 a   . Hình chi   a đ    S  trên mặ t ph  ng   (   ) ABCD   trùng với trọng tâm   H   c    ABD .

Bài toán khoảng cách trong không gian

CH       5: BÀI TOÁN V    GÓC V    1: GÓC GI  NG TH  NG 1.    ng th  ng  Trong không gian cho 2 đườ ng th  ng a, b b  t k  . T    m  m O   nào đó ta vẽ   2 đườ ng th  ng a    b    l  t song song  với a và   b. Ta nh  n th  y r  m O   thay đổi thì góc giữ a 2   ng th  ng a    và   b    không thay đổ i.  Do đó ta có định nghĩa:     Góc giữa 2 đườ ng th  a   2 đườ ng th  ng   a    và   b    cùng đi  qua m   2.   Cách xác định góc giữa hai đườ ng th  ng     xác định góc giữa 2 đườ ng th    l  m O thu  c m  ng th  i  vẽ   m  ng th  ng qua O   và song song với đườ ng th  ng còn l  i. N  u   u     là vecto chỉ   phương của đườ ng th      là vecto chỉ   phương của đườ ng th    (   ) u; v   = α    thì gó c gi  ng th  ng      n  u 0   90       và bằ ng   180    n  u   90   180       . N  u 2   ng th  a chúng b  ng   0    . Góc giữa 2 đư ờ ng th  ng là  góc có số      0   90       .  3.   Phương pháp tính góc giữa hai đườ ng th  ng     tính góc giữa hai đườ ng th  ng trong không gian chúng ta c  n nh    các công th       nh lý hàm s    cosin trong tam giác ABC :      2   2   2 AB   AC   BC cos BAC   2.AB.AC  +    =  Tương tự   ta có:      2   2   2 BA   BC   AC cos ABC   2.BA.BC  +    =   và      2   2   2 CA   CB   AB cos ACB   2.CA.CB  +    =  Chú ý:      (   ) 2   2   2 1 AB.AC   AB.AC cos BAC   AB   AC   BC 2  =   =   +          ng th    AB      và   CD      d    th  c  (   )   (   )   AB.CD AB.CD cos AB;CD   cos AB;CD AB . CD   AB . CD  =      =                           t     ng th  ng   AB và CD.  Ví dụ   1:   Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đề u c  nh a,   (   ) SA   ABC    và   SA   a   3 =   . G  i M, N l  n  lượt là trung điể m c  a A B và SC. Tính cosin góc giữa hai đườ ng th   L  i gi  i  Cách 1:   D  ng hình bình hành AMCE suy ra   a AM   CE   2  =   =   .Khi đó     (   )     (   ) AE / /CM   AE;CM   AN; AE   .    =   = φ  M  t   khác   2   2  SC   SA   AC   2a =   +   =         dài    ng   trung   tuy  n   AN   là  SC   a   3  AN   a.AE   CM   . 2   2  =   =   =   = Do   ABC     u nên   CM   AM       AMCE là hình ch    nh  t.  Khi đó   CE   AE    mà   (   ) CE   SA   CE   SAE   CE   SE.               SEC    vuông tại E có đườ ng trung tuy  n   1  EN   SC   a.  2  =   = T a có:      2   2   2  AN   AE   NE   3   3  cos NAE   0   cos   . 2.AN.AE   4   4  +    =   =   >        Cách 2:   Ta có:   (   ) 1   1  AN   AS   AC ;CM   AM   AC   AB   AC.  2   2  =   +   =      =                                 Khi đó   (   )   2   2 2   2 1   1   1   1   1   a   3a AN.CM   AS   AC   AB   AC   AB.AC   AC   a cos 60   .  2   2   4   2   4   2   8       =   +      =      =      =                                 L   2  3a  8 SC   a   3   3  AN   a;CM   cos   . 2   2   4 a   3  a.   2   =   =   =         =  Bình lu  n:   D  y r  ng, trong m  t s    trườ ng h  c s    d  ng công c    vectơ    tí nh góc giữa hai đườ ng th  ng giúp bài toán tr    nên d    ràng h  n r  t nhi  u!.  Ví dụ   2:   Cho hình chóp S.ABC   có SA   SB   SC   AB   a; AC   a   2 =   =   =   =   =   và   BC   a   3 =   . Tính cosin góc giữ a  hai đườ ng th  ng   SC   và AB.  L  i gi  i  Cách 1:   G  i M, N, P l  t là t rung điể m c     (   )     (   ) MP / /SC   SC; AB   MP; MN .  N / /AB        =    Ta có:   AB   a   SC   a  MN   ; MP   . 2   2   2   2  =   =   =   =  M  t khác   SAC    vuông tạ i   S   AC   a   2  SP   .  2   2     =   = 2   2   2 2   2 BA   BC   AC   3   a   6  BP   a   BP   . 2   4   2   2  + =      =      =  Suy ra  2   2   2   2 2   PS   PB   SB   3a   a   3  PN   NP   . 2   4   4   2  + =      =      =

Bài toán về góc trong không gian

Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian  1  M  C L  C  A. M      U   ................................ ................................ ................................ ................................ ......   2  I. L  i nói đ  u ................................ ................................ ................................ ................................ .   2  II. Cơ s    lý thuy  t   ................................ ................................ ................................ ........................   2  2.1. Các đ  nh nghĩa   ................................ ................................ ................................ ...................   2  2.2. Các đ  nh lý thư  ng đư  c s    d  ng   ................................ ................................ ..................   4  B. N  I DUNG ................................ ................................ ................................ ................................ ...   5  I. Ch  ng minh đư  ng th  ng vuông góc v  i m  t ph  ng, đư  ng th  ng vuông góc v  i    ng th  ng, m  t ph  ng vuông góc v  i m  t ph  ng . ................................ ............................   5  1.1. D  ng 1: Ch  ng minh     ng th  ng vuông góc v  i m  t ph  ng ................................ ..   5  1.2. D  ng 2: Ch  ng minh hai đư  ng th  ng vuông góc   ................................ ......................   7  1.3. D  ng 3: Ch  ng minh hai m  t ph  ng vuông   góc ................................ ..........................   9  II. Các d  ng toán v    góc   ................................ ................................ ................................ ...........   14  2.1. D  ng 1: Góc gi  a hai đư  ng th  ng ................................ ................................ .............   14  2.2. D  ng 2: Góc gi  a đư  ng th  ng và m  t ph  ng   ................................ ...........................   17  2.3. D  ng 3: Góc gi  a hai m  t ph  ng ................................ ................................ ..................   18  III. Các d  ng toán v    kho  ng cách   ................................ ................................ .......................   22  3.1.D  ng 1: Kho  ng cách t    m  t đi  m t  i m  t m  t ph  ng   ................................ ..............   22  3.2.D  ng 2: Kho  ng cách gi  a hai đư  ng th  ng chéo nhau   ................................ ..........   28  C. K  T LU  N   ................................ ................................ ................................ ................................   37  TÀI LI  U THAM KH  O   ................................ ................................ ................................ ...........   38Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian  2  A. MỞ ĐẦU  I. Lời nói đầu  Trong môn toán      trư  ng ph    thông ph  n hình h  c không gian   gi    m  t vai trò, v    trí  h  t s  c quan tr  ng. Ngoài vi  c cung c  p cho h  c sinh ki  n th  c, kĩ năng gi  i toán hình h  c  không gian, còn rèn luy  n cho h  c sinh đ  c tính, ph  m ch  t c  a con ngư  i lao đ  ng m  i:  c  n th  n, chính xác, có tính k    lu  t, tính phê phán, t   o, b  i dư  ng óc th  m mĩ, tư  duy sáng t  o cho h  c sinh.  Tuy nhiên trong quá trình gi  ng d  y tôi nh  n th  y h  c sinh l  p 11   r  t e ng  i h  c môn  hình h  c không gian vì các em nghĩ r  ng nó tr  u tư  ng, thi  u tính th  c t  . Chính vì th    mà  có r  t nhi  u   h  c sinh h  c y  u môn h  c này, v    ph  n giáo viên cũng g  p không ít khó khăn  khi truy  n đ  t n  i dung ki  n th  c và phương pháp gi  i các d  ng bài t  p hình h  c không  gian.  Hình h  c không gian là m  t ph  n r  t quan tr  ng trong n  i dung thi đ  i h  c c  a B   giáo d  c , n  u h  c sinh không n  m k    bài thì các em s    g  p nhi  u lúng túng khi làm hai câu  trong v    hình h  c không gian trong đ    thi đ  i h  c.  Qua nhi  u năm gi  ng d  y môn h  c này tôi cũng đúc k  t đư  c m  t s    kinh nghi  m  nh  m giúp các em ti  p thu ki  n th  c đư  c t  t   hơn, t      t lư  ng gi  ng d  y cũng như  h  c t  p c  a h  c sinh ngày đư  c nâng lên. Do đây là ph  n n  i dung ki  n th  c m  i nên nhi  u  h  c sinh còn chưa quen v  i tính tư duy tr  u tư  ng c  a nó, nên tôi nghiên c  u n  i dung này  nh  m tìm ra nh  ng phương pháp tru y  n đ  t phù h  p v  i h  c sinh, bên c  nh cũng nh  m tháo  g    nh  ng vư  ng m  c, khó khăn mà h  c sinh thư  ng g  p ph  i v  i mong mu  n nâng d  n ch  t  lư  ng gi  ng d  y nói chung và môn hình h  c không gian nói riêng.  T    lý do trên tôi đã khai thác, h    th  ng hóa các ki  n   th  c, t  ng h  p các phương pháp  thành m  t chuyên đ  :    Các d  ng Toán v    quan h    vuông góc trong không gian     II. Cơ sở lý thuyết  2.1. Các định nghĩa  +)     nh nghĩa   1 : Hai đư  ng th  ng đư  c g  i là vuông góc v  i nhau n  u góc gi  a chúng  b  ng 90 0 . 0  ( , )   90 a   b   a b       

Các dạng toán quan hệ vuông góc trong không gian – Lê Duy Hiền

BÀI GI  NG ÔN THI VÀO Đ  I H  C   BÀI TOÁN KHO  NG CÁCH TRONG HÌNH H  C KHÔNG GIAN  THS. PH  M H  NG PHONG      GV TRƯ  NG ĐH XÂY D  NG   DĐ: 0983070744   website: violet.vn/phphong84  1  BÀI TOÁN KHO  NG CÁCH TRONG HÌNH H  C KHÔNG GIAN  Lo    Kho  ng cách t      m đ  n m  t ph  ng, m  t     ng th  ng  A.   Tóm t  t lý thuy  t  1.     nh ngh    Kho  ng cách t    m  t đi  m đ  n m  t ph  ng ( ho  c     ng th  ng) b  ng   kho  ng cách  t      m     i hình chi  u vuông góc c  a nó lên m  t ph  ng ( ho  c     ng th  ng).  Kho  ng cách t      m   M   t  i m  t ph  ng       P     c  ký hi  u là           d M; P   .  H   là hình chi  u vuông góc c  a   M   lên       P   thì          d M; P   MH   Kho  ng cách t      m   M   t  i đư  ng th  ng       c ký hi  u là       d M;    .  H   là hình chi  u vuông góc c  a   M   lên     thì      d M;   MH       .  2.   Bài toán cơ b  n :   Nhi  u bài toán tính kho  ng cách t      m t  i m  t ph  ng, t      m t  i đư  ng  th  ng có   th    quy v    bài toán cơ b  n sau  Bài toán:   Cho hình chóp   S.ABC   có   SA   vuông góc v  i đáy. Tính kho  ng cách t      m   A     n  m  t ph  ng       SBC   và kho  ng cách t      m   S     n đư  ng th  ng   BC   .  Cách gi  i  H  P  M    M  HBÀI GI  NG ÔN THI VÀO Đ  I H  C   BÀI TOÁN KHO  NG CÁCH TRONG HÌNH H  C KHÔNG GIAN  THS. PH  M H  NG PHONG      GV TRƯ  NG ĐH XÂY D  NG   DĐ: 0983070744   website: violet.vn/phphong84  2  G  i   D   là chân đư  ng vuông góc h    t    A   xu  ng   BC   ,   H   là chân    ng vuông góc h    t    A   xu  ng   SD   . Ta có  +)       SA   ABC       BC   SA    , l  i có   BC   AD    (do d  ng)         BC   SAD       SD   BC           d S;BC   SD    .  +) T    ch  ng minh trên, đ        BC   SAD       AH   BC    , l  i  có   AH   SD    (do v  )          AH   SBC               d A; SBC   AH   .  3.   M  t s    lưu     * V    cách tính kho  ng cách m  t cách gián ti  p  +)       MN   P                         d M; P   d N; P    .  +)                   M, N   Q  Q   P                                      d M; P   d N; P    .  +)       MN   P   I                            d M; P   d M; Q  MI   NI     .  Trư  ng h  p đ  c bi  t:   I   là trung đi  m c  a   MN                        d M; P   d N; P    .  +)   MN                    d M;   d N;          .  +)   MN   I                 d M;   d M;  MI   NI          .  Trư  ng h  p đ  c bi  t:   I   là trung đi  m c  a   MN                d M;   d N;          .  * V    cách s    d  ng th    tích đ    tính kho  ng cách t      m đ  n m  t ph  ng :   Cho hình chóp  1   2   n S.A A ...A   . Ta có        3V S.A A   ...A 1   2   n  1   2   n   S A A   ...A 1   2   n  d S, A A ...A              .  *   Kho  ng cách t    m  t đư  ng th  ng t  i m  t ph  ng song song v  i nó:   Cho       P       ,   M   là m  t    m b  t k    trên      .   Khi đó                    d   ; P   d M; P       .  *   Kho  ng cách gi  a hai m  t ph  ng song song:   Cho             P   Q    ,   M   là m  t đi  m b  t k    trên      P   . Khi đó  S  A   C  B  D  H

Bài toán khoảng cách trong không gian – Phạm Hồng Phong

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP     Tổng hợp:   Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   1  TOÁN 11 1H3-3  Contents  A. CÂU HỎI   .................................................................................................................................................................... 1  DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1  DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG ...................................................................................................................................................... 3  Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ........................................................................................................ 3  Dạng 2.2 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng   .................................................................................................... 4  DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG   ..................................................................... 4  Dạng 3.1 Góc của cạnh bên với mặt phẳng đáy   ........................................................................................................... 4  Dạng 3.2 Góc giữa cạnh bên với mặt phẳng bên ........................................................................................................ 10  Dạng   3.3   Góc   giữa      thẳng   khác   với   mặt   phẳng  ........................................................................................... 14  DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC .................................................................................................. 17  B. LỜI GIẢI   ................................................................................................................................................................... 19  DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT ................................................................................................................................ 19  DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG .................................................................................................................................................... 19  Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ...................................................................................................... 19  Dạng 2.2 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng   .................................................................................................. 24  DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG   ................................................................... 26  Dạng 3.1 Góc của cạnh bên với mặt phẳng đáy   ......................................................................................................... 26  Dạng 3.2 Góc giữa cạnh bên với mặt phẳng bên ........................................................................................................ 40  Dạng   3.3   Góc   giữa      thẳng   khác   với   mặt   phẳng  ........................................................................................... 52  DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC .................................................................................................. 60  A. CÂU HỎI DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT  Câu 1.   (CHUYÊN   VĨNH   PHÚC   -   LẦN   1   -   2018) Cho hai đường thẳng phân biệt   , a b   và mặt phẳng       P , trong đó       a   P    . Chọn mệnh đề   sai .  A.   Nếu   // b   a   thì       // b   P   .   B.   Nếu   // b   a   thì       b   P    .  C.   Nếu       b   P    thì   // b   a   .   D.   Nếu       // b   P   thì   b   a    .  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP     Tổng hợp:   Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   2  Câu 2.   (THPT   QUẢNG   YÊN   -   QUẢNG   NINH   -   2018)   Qua điểm   O   cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng      cho trước?  A.   Vô số.   B.   2   .   C.   3   .   D.   1   .  Câu 3.   (THPT   QUẢNG   YÊN   -   QUẢNG   NINH   -   2018)   Khẳng định nào sau đây   sai ?  A.   Nếu đường thẳng   d   vuông góc với mặt phẳng          thì   d   vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng          .  B.   Nếu đường thẳng   d   vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng          thì   d   vuông góc với mặt phẳng          .  C.   Nếu đường thẳng   d   vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng          thì   d vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng          .  D.   Nếu       d      và đường thẳng       // a     thì   d   a    .  Câu 4.   (SỞ   GD&ĐT   BÌNH   THUẬN   -   2018)   Trong không gian, khẳng định nào sau đây   sai ?  A.   Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc   B.   Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.  C.   Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.  D.   Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.  Câu 5.   (SGD&ĐT   BẮC   NINH   -   2018)   Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây?  A.   Góc giữa đường thẳng   a   và mặt phẳng       P   bằng góc giữa đường thẳng   a   và mặt phẳng       Q thì mặt phẳng       P   song song hoặc trùng với mặt phẳng       Q   .  B.   Góc giữa đường thẳng   a   và mặt phẳng       P   bằng góc giữa đường thẳng   b   và mặt phẳng       P thì đường thẳng   a   song song với đường thẳng   b   .  C.   Góc giữa đường thẳng   a   và mặt phẳng       P   bằng góc giữa đường thẳng   b   và mặt phẳng       P thì đường thẳng   a   song song hoặc trùng với đường thẳng   b   .  D.   Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.  Câu 6.   (THPT   TRẦN   NHÂN   TÔNG   -   QN   -   LẦN   1   -   2018)   Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau   A.   Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.  B.   Cho hai đường thẳng chéo nhau   a   và   b      a   b    . Luôn có mặt phẳng          chứa   a   và        b        .  C.   Cho hai đường thẳng   a   và   b   vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng          chứa   a   và mặt phẳng         chứa   b   thì                    .  D.   Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác.  Câu 7.   (THPT   BÌNH   GIANG   -   HẢI   DƯƠNG   -   2018)   Cho hai đường thẳng phân biệt   , a b   và mặt phẳng      P   . Chọn khẳng định đúng?  A.   Nếu       a   P    và   b   a    thì       b   P    .   B.   Nếu       a   P    và       b   P    thì   b   a    .  C.   Nếu       a   P    và   b   a    thì       b   P    .   D.   Nếu       a   P    và       b   P    thì   b   a    .

Bài tập trắc nghiệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp án và lời giải

Trang 1/30  CHỦ ĐỀ 2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN  Bài 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN  I.   KIẾN THỨC CƠ BẢN  1.           vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự   như trong mặt phẳ ng.     Phép cộ ng , trừ   vectơ:     Quy t  m : Cho ba điểm   A, B, C   bất kì, ta có:   AB   BC   AC +   =             .     Quy t  c hình bình hành : Cho hình bình hành   ABCD , ta có:   D AB   A   AC +   =            .     Quy t  c hình h  p:   Cho   hình   h    .   '   '   '   ' ABCD A B C D , ta có:   '   ' AB   AD   AA   AC +   +   =                .     Lưu ý:        hai vectơ cùng phương :  Hai vectơ   a     và   b     (   0 b           )   !   :   . k   a   k b       =         .        M   chia đoạn thẳ ng   AB   theo tỉ   s    k   (   1 k      ), điểm   O   tùy ý.  Ta có:   . MA   k MB =      1  OA   kOB OM   k   =                 Trung điể m c  n th  : Cho   I   là trung điểm của đoạn thẳ ng   AB , điểm   O   tùy ý.  Ta có:   0 IA   IB +   =             2 OA   OB   OI +   =               Tr  : Cho   G   là trọng tâm      ABC , điểm   O   tùy ý.  Ta có:   0 GA   GB   GC +   +   =                3 OA   OB   OC   OG +   +   =               2.   S          : Ba vectơ được gọi là đồng phẳ ng n  phẳ ng.        ba vectơ đồng   ph    Cho ba vectơ   ,   , a   b   c           , trong đó   a     và   b     không cùng phương.  Khi đó:   ,   , a   b   c            ng   !   ,   :   .   . m   n   c   m a   n b       =   +              Cho ba vectơ   ,   , a   b   c           không đồ n g phẳng,   x     tùy ý.  Khi đó:   !   ,   ,   :   .   .   . m   n   p   x   m a   n b   p c       =   +   +              3.   Tích vô hướng của hai vectơ:     Góc giữa hai vectơ trong không gian : Ta có:   , AB   u   AC   v =   =               .  Khi đó:   (   )    , u v   BAC =      0   0 (0   180 ) BAC         Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:  Cho   ,   0 u   v              (   ) .   .   .cos   , u v   u   v   u v =                V    0 u   =        hoặc   0 v   =        .   0 u v   =       V    ,   0 u   v              , ta có:   .   0 u   v   u v       =          II.   KỸ NĂNG CƠ BẢN  Dạng 1:   Chứng minh đẳng thức. Phân tích vectơ. Áp dụng công thức tính tích vô hướng.      vectơ với một số ).      ng  tâm của tam giác.  Ví dụ : Cho hình lăng trụ   . ABC A B C          ,   M   là trung điểm của   BB    . Đặt   CA   a =         ,   CB   b =         ,  ' AA   c =        . Khẳng định nào sau đây đúng?Trang   2/30  A.   1 2  AM   b   a   c =      +               B.   1 2  AM   a   c   b =      +               C.   1 2  AM   a   c   b =   +                  .   D.   1 2  AM   b   c   a =   +                 Hướng dẫn :  Cần lưu ý tính chất   M   là trung điểm của thì   1   1 2   2  AM   AB   AB  =   +             . Khi đó :  1   1   1   1   1   1   1   1 2   2   2   2   2   2   2   2  AM   AB   AB   AB   AB   BB   AB   AA   AC   CB   AA   a   b   c           =   +   =   +   +   =   +   =   +   +   = −   +   +                                                  .  Dạng 2:   Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, đường thẳng song song với mặt phẳng, các tập hợp điểm đồng phẳng      ng  Ví dụ   : Trong không gian cho điểm   O   và bốn điểm   A ,   B ,   C ,   D   không thẳng hàng. Điều kiện cần và    A ,   B ,   C ,   D   tạo thành hình bình hành là:  A.   OA   OC   OB   OD +   =   +                .   B.   0 OA   OB   OC   OD +   +   +   =                   .  C.   1   1 2   2  OA   OB   OC   OD +   =   +                .   D.   1   1 2   2  OA   OC   OB   OD +   =   +                .  Hướng dẫn :     AB   CD =          hoặc   AC   BD =         . Khi đó  A.   (   ) OA   OC   OB   OD   OA   OB   OD   OC   BA   CD   AB   DC +   =   +         =         =   =                                             .  B.   0 OA   OB   OC   OD +   +   +   =                   : Với   O   là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện)   ABCD   .  C.   1   1 2   2  OA   OB   OC   OD +   =   +                1   1 2   2  OA   OC   OD   OB       =                   1 2  CA   BD    =         D.   1   1   1   1   1 2   2   2   2   2  OA   OC   OB   OD   OA   OB   OD   OC   BA   CD +   =   +         =         =                                      .  Vậy chọn   A.  Bài 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG  III.   KIẾN THỨC CƠ BẢN  1.   Vectơ chỉ   phương của đường thẳng:  Vectơ   0 a              phương của đường thẳ ng   d   n    a     song song hoặc trùng với đường thẳ ng   d.  2.   Góc giữa hai đường thẳng:     Cho   //   ' a   a ,   //   ' b   b   và   ' a   ,   ' b   cùng đi qua một điểm. Khi đó:     (   )     (   ) ,   ',   ' a b   a   b =     Giả   s    , u   v         phương của đường thẳng a, b và   (   ) , u v   =     .  Khi        (   )   (   ) (   )  0   0 0   0   0 0   90  ,   180   90   180  a b              =       <          N    // a   b   hoặc   a   b    thì     (   )   0  ,   0 a b   =   .  3.   Hai đường thẳng vuông góc:       (   )   0  ,   90 a   b   a b       =   .     Giả   s    , u   v         phương của đườ ng   thẳng a, b. Khi đó:   .   0 a   b   u v       =          Cho   // a   b   . N    a   c    thì   b   c    .  Lưu ý : Hai đường thẳng vuông góc với nhau chỉ   có thể   cắt nhau hoặc chéo nhau.  IV.   KỸ NĂNG CƠ BẢN :  Xác định góc giữa   hai đường thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm véctơ trong không gian, quan hệ vuông góc

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam  Chương III  Bài 4 .   Hai mặt vuông góc  1  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  A.   L Ý   THUY    T  I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG .  Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt  vuông góc   với hai mặt phẳng đó.  Tức là                            ,   ,  a   P   P   Q   a b b   Q                  Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói góc giữa  hai mặt phẳng đó bằng 0  0   .  Diện tích hình chiếu '   cos S   S     Trong đó S   là diện tích đa giác nằm trong         , ' S   là diện tích đa  giác nằm trong         còn    là góc giữa         và        Nhận xét:  Trong thực hành để xác định góc của hai mặt phẳng ta chỉ cần làm như sau:  Bước      :   Tìm giao tuyến                     Bước      :   Lấy   một điểm     M      .  Dựng hình chiếu H   của M   trên         hay     MH   mp    ( Trong bước này MH   gọi là     Thông thường đề bài cho sẵn và H   gọi là chân đường vuông góc )  Bước      :   Lấy chân đường vuông góc là H   và dựng HN     (Bước này gọi là bước dựng lần kẻ thứ nhất)  Bước      :   Ta chứng minh MN      .  Bước      :   Kết luận                  ,   , P   Q   HN MN   HNM            Ví d    1.   Cho hình chóp . S ABC   có     y ABC   là tam giác vuông cân t  i A   , AB   AC   a       ; SA   a   và vuông góc v  i     y.  a).   Tính góc gi  a hai m  t ph  ng     SBC   và     ABC   .  b).   Tính góc gi  a hai m  t ph  ng     SAC   và     SBC   .  L  i gi  i  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................   b  a     C  S'  S        E   D  B A  E'   D'  C'  B' A' gọi là chân đường vuông góc  H        N  M   À   I 4.   HAI M  T PH  NG VUÔNG GÓCTrung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam  Chương III  Bài 4 .   Hai mặt vuông góc  2  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC.  1. Định nghĩa.  Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 .  Kí hiệu:                        ,   90 P   Q   P   Q          .  2.   Tính chất.  Tính chất 1.   Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi  trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt  phẳng kia.  Kí hiệu:                      a   P   P   Q a   Q                   .  Nhận xét .   tính chất này giúp cho ta chứng minh      hai mặt  phẳng vuông góc với nhau.  Tính chất 2 .   Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ     phẳng và vuông góc   với giao  tuyến   cũng vuông góc với mặt phẳng kia.  Kí hiệu:                                P   Q a   P   a   Q b   P   Q a   b                             Tính chất 3 .   Cho hai mặt phẳng     P   và     Q   vuông góc với nhau.  Nếu từ một điểm thuộc     mp P   dựng một đường thẳng vuông góc  với     mp Q   thì đường thẳng này nằm   trong     P  Kí hiệu:                        A   P P   Q   a   P A   a   Q                         .  Tính chất 4 .   Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng   vuông góc với một  mặt phẳ ng thì giao tuyến của chúng củng   vuông góc với mặt  phẳng đó  Kí hiệu:                                    P   R Q   R   R P   Q                    H  c  b  a  Q  P A  a  P  Q  H

Bài toán hai mặt phẳng vuông góc – Diệp Tuân

MỤC LỤC  CHƯƠNG 3   QUAN HỆ VUÔNG GÓC   1  1   VEC - TƠ TRONG KHÔNG GIAN   1 A   TÓM TẮT LÝ THUYẾT   1 1   Các định nghĩa   1 2   Các quy tắc tính toán với véc-tơ   1 3   Một số hệ thức véc-tơ trọng tâm, cần nhớ   2 4      2 5   Phân tích một véc-tơ theo ba véc-tơ không đồng phẳng   2 6   Tích vô hướng của hai véc-tơ   2 B   Các dạng toán   3 Dạng 1. Xác định véc-tơ và các khái niệm có liên quan   3 Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véc-tơ   3 Dạng 3. Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ   4 Dạng 4. Tích vô hướng của hai véc-tơ   6 Dạng 5. Chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng   6 Dạng 6. Phân tích một véc-tơ theo 3 véc-tơ không đồng phẳng cho trước   7 Dạng 7. Ứng dụng véc-tơ chứng minh bài toán hình học   7 C   CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   9 1      17 2   HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC   19 A   TÓM TẮT LÝ LÝ THUYẾT   19 1   Tích vô hướng của hai véc-tơ trong không gian   19 2   Góc giữa hai đường thẳng   19 B   CÁC DẠNG TOÁN   20https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/   Chương 3 - Hình học 11  Dạng 1. Xác định góc giữa hai véc-tơ   20 Dạng 2. Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian   21 Dạng 3. Sử dụng tính chất vuông góc trong mặt phẳng.   22 Dạng 4. Hai đường thẳng song song cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba   23 C   CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   24 1      42 3      43 A   TÓM TẮT LÝ THUYẾT   43 1      43 2      43 3   Tính chất   43 4   Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng 44 5   Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc   45 B   CÁC DẠNG TOÁN   45 Dạng 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng   45 Dạng 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng   47 Dạng 3. Xác định thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước   49 C   CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   50 1      83 4   HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC   85 A   TÓM TẮT LÝ THUYẾT   85 1      85 2   Cách xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau   85 3   Diện tích hình chiếu của một đa giác   85 4   Hai mặt phẳng vuông góc   85 5   Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương   86  Th.s Nguyễn Chín Em   2   https://emncischool.wixsite.com/geogebra

Chuyên đề vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc – Nguyễn Chín Em

NGUYỄN NGỌC DŨNG  PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  HÌNH HỌC   11  Chương 3  QUAN HỆ VUÔNG GÓC  B  C  J  S  D  A  O  góc cạnh bên và đáy:    SBO  góc mặt bên và đáy:    SJO     ABCD  các cạnh bên:   SA   =   SB   =   SC   =   SD chiều cao:   SO  2018 - Tài liệu lưu hành nội bộ

Phương pháp giải toán Hình học 11 chương 3: Quan hệ vuông góc – Nguyễn Ngọc Dũng

CHƯƠNG III.  VECTO - QUAN  H    VUÔNG GÓC  T  P 1. VÉC TƠ  GIÁO VIÊN MU  N MUA FILE WORD LIÊN H    0946798489   ho  c liên h   F acebook:   https://web.facebook.com/phong.b aovuong  P age:   https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  W ebsite:   http://tailieutoanhoc.vn/  Email:   baovuong7279@gmail.com  [Pick the date]  NGUY  N B  O VƢƠNGNGUYỄN BẢO VƯƠNG   [ CHƯƠNG III. VECTO - QUAN HỆ VUÔNG GÓC ]  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489   1  M  C L  C  T   ..................................................................................................................... 2 A.TÓM T  T GIÁO KHOA. ........................................................................................................................................ 2 B. LUY  I CÁC D  NG BÀI T  P. ............................................................................................... 2  Bài toán 01: CH  NG TH   ..................................................................................... 2  Bài toán 02: CH  NG PH  NG VÀ B  NG PH  NG.   .............. 4  Bài toán 03: TÍNH ĐỘ   DÀI C  N TH  NG.   ......................................................................................... 7  Bài toán 04: S    D  U KI  NG PH  NG C  A B    GI  I BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN. ....................................................................................................................................................... 8 CÁC BÀI TOÁN LUY  N T  P ................................................................................................................................. 10  Giáo viên mua file word liên h    0946798489 để   g  p th 

Chuyên đề vector trong không gian, quan hệ vuông góc – Nguyễn Bảo Vương

TUYỂN CHỌN 124   BÀI TẬP   TRẮC NGHIỆM  BÀI 1 : VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN  Câu 1:   Cho ba vectơ   , , a b c     không đồng phẳng. Xét các vectơ   2   ;   4   2 ;   3   2 x   a   b y   a   b z   b   c =      = −   +   = −                           .  Chọn khẳng định đúng?  A.   Hai   vectơ   ; y z      cùng phương.   B.   Hai   vectơ   ; x y      cùng phương.  C.   Hai   vectơ   ; x z     cùng phương.   D.   Ba vectơ   ;   ; x y z        Hướng dẫn giải  + Nhận thấy:   2 y   x = −         nên hai   vectơ   ; x y      cùng phương.  Câu 2:   T rong mặt phẳng cho tứ giác   ABCD   có hai đường chéo cắt nhau tại   O   . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào   sai ?  A.   Nếu   ABCD   là hình bình hành thì   0 OA   OB   OC   OD +   +   +   =                   .  B.   Nếu   ABCD   là hình thang thì   2   2   0 OA   OB   OC   OD +   +   +   =                  C.   Nếu   0 OA   OB   OC   OD +   +   +   =                   thì   ABCD là hình bình hành.  D.   Nếu   2   2   0 OA   OB   OC   OD +   +   +   =                   thì   ABCD là hình thang.  Hướng dẫn giải  Chọn   B.  Câu 3:   Cho hình hộp   1   1   1   1 . ABCD A B C D . Chọn khẳng định đúng?  A.   1   1 ,   , BD BD   BC           B.   1   1   1 ,   , CD   AD A B         C.   1   1 ,   , CD   AD A C         D.   1 ,   , AB AD C A        Hướng dẫn giải  ,   ,   , M N P Q +   lần lượt là trung điểm của   1   1 AB,AA , DD , CD   . D A 1   B 1 C 1 D 1 C B A  QUAN HỆ VUÔNG GÓC CÓ ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT(   )  1 1 / /(   ). / /   . / /(   ).  CD   MNPQ AD   MNPQ A C   MNPQ  + + + 1   1 ,   , CD   AD A C           Câu 4:   Cho ba vectơ   , , a b c     không đồng phẳng. Xét các vectơ   2   ;   c;   3   2 x   a   b y   a   b   z   b   c =   +   =         = −                              .  Chọn khẳng định đúng?  A.   Ba vectơ   ;   ; x y z         B.   Hai   vectơ   ; x a     cùng phương.  C.   Hai   vectơ   ; x b     cùng phương.   D.   Ba   vectơ   ;   ; x y z        Hướng dẫn giải  Ta có:   (   ) 1 2  y   x   z =   +            nên ba vectơ   ;   ; x y z        Câu 5:   Cho hình hộp   1   1   1   1 . ABCD A B C D . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:  1   1   1   1 AB   B C   DD   k AC +   +   =                A.   4 k   =   B.   1 k   =  C.   0 k   =   D.   2 k   =   .  Hướng dẫn giải  + Ta có: 1   1   1 1 1  AB   B C   DD AB   BC   CC AC  +   + =   +   + =                         . Nên   1 k   =   . Chọn   B Câu 6:   Cho hình hộp   . ’ ’       ABCD A B C D   có tâm   O   . Gọi   I   là tâm hình bình hành   ABCD   . Đặt  ' AC   u =         ,   ' CA   v =        ' BD   x =         ' DB   y =          . đúng?  A.   1 2   (   ) 4  OI   u   v   x   y = −   +   +   +                  .   B.   1 2   (   ) 2  OI   u   v   x   y = −   +   +   +                  . D A 1   B 1 C 1 D 1 C B A

124 bài tập trắc nghiệm quan hệ vuông góc có đáp án và lời giải chi tiết

Câu   1:   (THPT   Xuân   Hòa-Vĩnh   Phúc-năm   2017-2018)   Cho tứ diện   ABCD   có   AB   ,   AC   ,   AD    vuông góc với nhau, biết   1 AB   AC   AD          . Số đo góc giữa hai đường thẳng   AB   và   CD bằng  A.   45    .   B.   60    .   C.   30    .   D.   90    . Lời giải  Chọn   D  CÁCH 1. Vì        AB   AC   AB   ACD   AB   CD AB   AD                     . CÁCH 2.  P N M 1 1 1 D C B A  Gọi   ,   , M N P   lần lượt là trung điểm của các cạnh   ,   , BC   AC   AD   . Trong   ABC    , có // 1   1 2   2  MN   AB MN   AB              (Tính chất đường trung bình) Trong   ACD    , có // 1   2 2   2  NP   CD NP   CD              (Tính chất đường trung bình) Trong   AMP    , có 2 2 2   2   1   2   3 2   2   2  MP   AP   AM                                                 . Ta có                //   ;   ; //  MN   AB   AB CD   MN NP   MNP NP   CD                  MNP    , có    2   2 2 2   2   2 2   1   3 2   2   2 cos   0 2   .   2   1 2.   . 2   2  NP   NM   MP MNP   NP NM                                                                  90 MNP         Hay       ;   90 AB CD         .  Câu   2:   (THPT   Chuyên      Vinh-GK1-năm   2017-2018)   Cho hình chóp   . S ABC   có đáy   ABC   là tam giác đều cạnh   a   ,   SA   vuông góc với mặt phẳng đáy và   2  a  SA      . Tính khoảng cách giữa hai    SA   và   BC   .A.   3 a   .   B.   a   .   C.   3 4  a   .   D.   3 2  a   . Lời giải  Chọn   D  Gọi   M   là trung điểm cạnh   BC   . Ta có   AM   BC   AM AM   SA             là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng   SA   và   BC   . Do đó         3  ,   2  a  AM   d   SA BC       .  Câu   3:   (THPT   Yên   Lạc-Vĩnh   Phúc-lần   1-đề   2-năm   2017-2018)   Cho tứ diện   ABCD   có   AB   AC    và  DB   DC    . Khẳng định nào sau đây đúng?  A.       AB   ABC    .   B.   AC   BC    .   C.       CD   ABD    .   D.   BC   AD    .  Lời   giải Chọn   D  B   D  C A E  Gọi   E   là trung điểm của   BC   . Tam giác   ABC   cân nên   BC   AE    ; Tam giác   DBC   cân nên   BC   DE    . Do đó       BC   AED   BC   AD          .  Câu   4:   (THPT   Hai   Bà   Trưng-Vĩnh   Phúc-lần   1-năm   2017-2018)   Trong các khẳng định sau đây khẳng   A.   Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.  B.   Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.  C.   Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.  D.   Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.  Lời   giải  Chọn   B   Vẽ   hình   phản   ví   dụ   minh   họa   C,D   cho   em   nhé  A.   Sai   vì có thể cắt hoặc chéo nhau.  A  S  B  C  M

Trắc nghiệm quan hệ vuông góc trong các đề thi thử Toán 2018

GV. TR GV. TR GV. TR GV. TRẦ    N QU N QU N QUỐ    C NGH C NGH C NGHĨA      1 1 1 1  VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC  V  n      1. VÉCT    TRONG KHÔNG GIAN  I. Véctơtrongkhônggian        Véct  , giá và      dài c  a véct  .     Véct    trong không gian   là m  t    o  n th  ng có h  ng.   Kí hi  u   AB      ch    véct    có    i  m    u  A   ,    i  m cu  i   B   . Véct    còn    c kí hi  u   a     ,   b     ,   c     , ...     Giá   c  a véct    là    ng th  ng    i qua    i  m    u và    i  m cu  i c  a véct          c g  i là   cùng ph  ng   n  u giá c  a chúng   song song   ho  c   trùng nhau . Ng  c l  i, hai véct    có  giá c  t nhau    c g  i là hai véct    không cùng ph  ng . Hai véct    cùng ph  ng thì có th   cùng h  ng   ho  c   ng  c h  ng .        dài c  a véct    là      dài c  a    o  n th  ng có hai    u mút là    i  m    u và    i  m cu  i c  a véct  . Véct    có      dài b  ng 1 g  i là véct     n v  . Kí hi  u      dài véct    AB      là   AB     Nh    v  y:   AB   AB   BA =   =      .        Hai véct    b  ng nhau,    i nhau.   Cho hai véct    a     ,   b     (    0     )     Hai véct    a     và   b      c g  i là   b  ng nhau   n  u chúng có cùng h  ng và cùng      dài.  Kí hi  u   a   b =       và   |   |   |   |  a   b  a   b   a   b     =         =             cuøng höôùng     Hai véct    a     và    c g  i là    i nhau   n  u chúng ng  c h  ng và cùng      dài.  Kí hi  u   a   b = −       và   |   |   |   |  a   b  a   b   a   b     =         =             cuøng höôùng        Véct      Véct        có    i  m    u và    i  m cu  i trùng nhau. Kí hi  u:   0     ,   ...   0 AA   BB   CC =   =   =   =                 . Véct      ng, h  ng tùy ý, có      dài b  ng không.  Véct      ng, cùng h  ng v  i m  i véct  .  II.Phépcộngvàphéptrừvéctơ         nh ngh  a 1.     Cho   a     và   b     . Trong không gian l  y m  t    i  m A tùy ý, d  ng   AB   a =         ,   BC   b =         . Véct    AC     c g  i là t  ng c  a hai véct    a     và   b     và    c kí hi  u   AC   AB   BC   a   b =   +   =   +                 .     (   ) a   b   a   b    =   + −                 Tính ch  t 1.     Tính ch  t giao hoán:   a   b   b   a +   =   +              Tính ch  t k  t h  p:   (   )   (   ) a   b   c   a   b   c +   +   =   +   +                    C  ng v  i   0     :   0   0 a   a   a +   =   +   =                 C  ng v  i véct     i:   (   )   0 a   a   a   a + −   = −   +   =                 a    b  A  B  C    a     b     a   b  +  8 Chủđề

Vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc – Trần Quốc Nghĩa

CÁC BÀI TOÁN KHÓ  T  CÁC BÀI TOÁN KHÓ VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC   Website.   tuduymo.com  CÁC BÀI TOÁN KHÓ VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC  L A TEX bởi TƯ DUY MỞ  1   Phương pháp vector.   hình lập phương, khối tứ diện đều. Trước tiên ta cần phải tìm hiểu các kiến thức nền tảng của phương pháp này.  1.1   Cơ sở của phương pháp vector.  1.1.1   Quy tắc hình hộp.  Nếu   ABCD . A  B  C  D    là hình hộp thì      AC    =      AB   +      AD   +      AA    =     a   +      b   +     c   .  1.1.2   Quy tắc trọng tâm tứ diện.  G   là trọng tâm tứ diện   ABCD   khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra 1.      GA   +      GB   +      GC   +      GD   =      0  2.      MA   +      MB   +      MC   +       MD   =   4     MG ,    M  1.1.3   Quy tắc đồng phẳng.       a   ,      b   ,     c      m ,   n ,   p   không đồng thời bằng   0   sao cho  m   a   +   n    b   +   p   c   =      0  1. Cho hai vector không cùng phương khi đó điều kiện cần và đủ để ba vec tơ     a   ,      b   ,     c    có các số   m ,   n   sao cho     c   =   m   a   +   n    b   . 2. Nếu ba vector     a   ,      b   ,     c   không đồng phẳng thì mỗi vec tơ      d    dưới dạng      d   =   m   a   +   n    b   +   p   c   .  1.2   Các dạng toán và phương pháp giải.  |   DẠNG 1. Chứng minh đẳng thức vector.  Phương pháp giải.   Sử dụng quy tắc cộng, quy tắc trừ ba điểm, quy tắc trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ giác, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp,...để biến đổi vế này thành vế kia.  Bài tập 1.   1. Cho hình chóp   S . ABCD   có đáy   ABCD   là hình chữ nhật. Chứng minh rằng     SA 2   +      SC 2   =      SB 2   +      SD 2  L A TEX   bởi Tư Duy Mở   2   Group.   Cộng đồng tư duy mở TOÁN LÍ

Các bài toán khó về quan hệ vuông góc

CHƯƠNG   3   QUAN HỆ VUÔNG GÓC  BÀI   1.   VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN  A   TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1   CÁC ĐỊNH NGHĨA  1   Véctơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu và điểm cuối).  2   Véctơ - không là véctơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.  3   Ký hiệu véctơ:   # »  AB   (điểm đầu là   A , điểm cuối là   B ) hay   #» a   ,   #»  b   ,   #» x   ,   #» y   , . . .  4      |   # »  AB | ,  |   #» a   | .  5   Giá của véctơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véctơ đó.  6   Hai véctơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.  7   Hai véctơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.  8   Hai véctơ bằng nhau là hai véctơ cùng hướng và có cùng độ dài. Tức là   #» a   =   #»  b        cùng hướng  |   #» a   |   =   |   #»  b   |  9   Hai véctơ đối nhau là hai véctơ ngược hướng nhưng vẫn có cùng độ dài.  10   Các phép toán cộng, trừ, nhân véctơ với một số được định nghĩa tương tự trong mặt phẳng.  2   CÁC QUY TẮC TÍNH TOÁN VỚI VÉCTƠ  1   Quy tắc ba điểm (với phép cộng):   # »  AB   +   # »  BC   =   # »  AC .  2   Quy tắc ba điểm (với phép trừ):   # »  OB      # »  OA   =   # »  AB .  3   Quy tắc ba điểm (mở rộng):   #     AX 1   +   #     X 1 X 2   +   #     X 2 X 3      +   #     X n  1 X n   +   #     X n   B   =   # »  AB .  4   Quy tắc hình bình hành: (a)   # »  AB   +   #     AD   =   # »  AC . (b)   # »  AB   +   #     AD   =   2   # »  AE  trong đó   ABCD   là hình bình hành và   E   là trung điểm của   BD .  5   Quy tắc hình hộp:  # »  AB   +   #     AD   +   #     AA    =   #     AC   trong đó   ABCD . A    B  C    D    là một hình hộp.   A    B    C   D   A B   C D  675676   CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC  3   MỘT SỐ HỆ THỨC VÉCTƠ TRỌNG TÂM, CẦN NHỚ  1   I   là trung điểm của đoạn thẳng   AB      # »  I A   +   # »  IB   =   #»  0      # »  OA   +   # »  OB   =   2   # »  OI  (với   O   là một điểm bất kỳ).  2   G   là trọng tâm của tam giác   ABC      # »  GA   +   # »  GB   +   # »  GC   =   #»  0      # »  OA   +   # »  OB   +   # »  OC   =   3   # »  OG     # »  AG   =   2 3  #     AM   (với   O   là một điểm bất kỳ,   M   là trung điểm cạnh   BC ).  3   G   là trọng tâm của tứ diện   ABCD      # »  GA   +   # »  GB   +   # »  GC   +   # »  GD   =   #»  0      # »  OA   +   # »  OB   +   # »  OC   +   #     OD   =  4   # »  OG      # »  AG   =   3 4  #     AA    (với điểm   O   bất kỳ,   A    là trọng tâm của    BCD )     #     GM   +   #     GN   =   #»  0   (với   M ,   N   là trung điểm 1 cặp cạnh đối diện).  4   #» a   và   #»  b   6   =   #»  0   cùng phương    k      R   :   #» a   =   k .   #»  b  5   #» a   và   #»  b   6   =   #»  0   cùng hướng    k      R +   :   #» a   =   k .   #»  b  6   #» a   và   #»  b   6   =   #»  0   ngược hướng    k      R    :   #» a   =   k .   #»  b  7   Ba điểm   A ,   B ,   C   thẳng hàng    k      R   :   # »  AB   =   k .   # »  AC  4        Trong không gian, ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.  Hệ quả 1.   Nếu có một mặt phẳng chứa véctơ này đồng thời song song với giá của hai véctơ kia thì ba véctơ đó đồng phẳng.     (  ) Trong không gian cho hai véctơ   #» a   và   #»  b   không cùng phương và véctơ   #» c   . Khi đó   #» a   ,   #»  b   và   #» c      ( m ;   n )   sao cho   #» c   =  m   #» a   +   n   #»  b   (cặp số   ( m ;   n )   nêu trên là duy nhất).  4 !   Bốn điểm phân biệt   A ,   B ,   C ,   D         # »  AB ,   # »  AC ,   #     AD         # »  AB   =   m .   # »  AC   +   n .   #     AD .  5   PHÂN TÍCH MỘT VÉCTƠ THEO BA VÉCTƠ KHÔNG ĐỒNG PHẲNG    Cho ba véctơ   #» a   ,   #»  b   và   #» c   không đồng phẳng. Với mọi véctơ   #» x   , ta đều tìm được duy nhất một bộ số   ( m ;   n ;   p )   sao cho   #» x   =   m .   #» a   +   n .   #»  b   +   p .   #» c   .  #» a   #»  b  #» c  #» x  6   TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ    1   Nếu   #» a   6   =   #»  0   và   #»  b   6   =   #»  0   thì   #» a   .   #»  b   =   |   #» a   |   .       #»  b       . cos (   #» a   ,   #»  b   )  2   Nếu   #» a   =   #»  0   hoặc   #»  b   =   #»  0   thì   #» a   .   #»  b   =   0

Hướng dẫn giải các dạng toán vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc

1  THÂN TẶNG QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH TOÀN QUỐC  HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHUYÊN ĐỀ  GÓC, KHOẢNG CÁCH VẬN DỤNG CAO  LỚP 11 THPT  CREATED BY GIANG S  N; TEL 0333275320  TP.THÁI BÌNH; 20/8/2021  TOÀN T  P  GÓC, KHO  NG CÁCH V  N D  NG CAO  PHIÊN B  N 20212  TOÀN TẬP  GÓC, KHOẢNG CÁCH VẬN DỤNG CAO  __________________________________________________________________________________________________  VẬN DỤNG CAO GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG – P1  VẬN DỤNG CAO GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG – P2  VẬN DỤNG CAO GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG – P3  VẬN DỤNG CAO GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG – P4  VẬN DỤNG CAO GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG – P5  VẬN DỤNG CAO GÓC NHỊ DIỆN – P1  VẬN DỤNG CAO GÓC NHỊ DIỆN – P2  VẬN DỤNG CAO GÓC NHỊ DIỆN – P3  VẬN DỤNG CAO GÓC NHỊ DIỆN – P4  VẬN DỤNG CAO GÓC NHỊ DIỆN – P5  VẬN DỤNG CAO GÓC NHỊ DIỆN – P6  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐIỂM VÀ MẶT PHẲNG – P1  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐIỂM VÀ MẶT PHẲNG – P2  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐIỂM VÀ MẶT PHẲNG – P3  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐIỂM VÀ MẶT PHẲNG – P4  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐIỂM VÀ MẶT PHẲNG – P5  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐIỂM VÀ MẶT PHẲNG – P6  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU – P1  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU – P2  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU – P3  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU – P4  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU – P5  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU – P6  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU – P7  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU – P8  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU – P9  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU – P10  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU – P11  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU – P12  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU – P13  VẬN DỤNG CAO KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU – P14

Toàn tập góc và khoảng cách vận dụng cao

400   BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN   THEO CHỦ ĐỀ CÓ ĐÁP ÁN     Email: emnhi1990@gmail.com  C HUY  N     NGƯỜI BUỒN CẢNH CÓ VUI ĐÂU BAO GIỜ  4 29   CÂU TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 3  QUAN HỆ VUÔNG   GÓC TRONG KHÔNG GIAN THEO  CHỦ ĐỀ CÓ ĐÁP ÁN  BẠN NÀO CẦN FILE WORD ĐỂ BIÊN SOẠN LIÊN HỆ: 0934286923  WWW.TOANMATH.COM400   BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN   THEO CHỦ ĐỀ CÓ ĐÁP ÁN     Email: emnhi1990@gmail.com  BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 3 .  QUAN HỆ VUÔNG GÓC  CÓ ĐÁP ÁN  I.   VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN  Câu 1:   Cho ba vectơ , , a b c   không đồng phẳng. Xét các vectơ 2   ;   4   2 ;   3   2 x   a   b y   a   b z   b   c                   .  Chọn khẳng định đúng?  A.   Hai   vectơ ; y z   cùng phương.   B.   Hai   vectơ ; x y   cùng phương.  C.   Hai   vectơ ; x z   cùng phương.   D.   Ba vectơ ;   ; x y z     Câu 2:   Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào   sai ?  A.   Nếu ABCD là hình bình hành thì 0 OA   OB   OC   OD             .  B.   Nếu ABCD là hình thang thì 2   2   0 OA   OB   OC   OD             .  C.   Nếu 0 OA   OB   OC   OD             thì ABCD là hình bình hành.  D.   Nếu 2   2   0 OA   OB   OC   OD             thì ABCD là hình thang.  Câu 3:   Cho hình hộp 1   1   1   1 . ABCD A B C D   . Chọn khẳng định đúng?  A. 1   1 ,   , BD BD   BC      B. 1   1   1 ,   , CD   AD A B     C. 1   1 ,   , CD   AD A C      D. 1 ,   , AB AD C A     Câu 4:   Ch o ba vectơ , , a b c   không đồng phẳng. Xét các vectơ 2   ;   c;   3   2 x   a   b y   a   b   z   b   c                      . Chọn khẳng định đúng?  A.   Ba vectơ ;   ; x y z      B.   Hai   vectơ ; x a   cùng phương.  C.   Hai   vectơ ; x b   cù ng phương.   D.   Ba   vectơ ;   ; x y z     Câu 5:   Cho hình hộp 1   1   1   1 . ABCD A B C D   . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: 1   1   1   1 AB   B C   DD   k AC         A.   k = 4   B.   k = 1   C.   k = 0   D.   k = 2  Câu 6:   Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi   I   là tâm hình bình hành ABCD. Đặt ' AC   u   , ' CA   v    , ' BD   x    , ' DB   y    . đúng?  A. 1 2   (   ) 4  OI   u   v   x   y             B. 1 2   (   ) 2  OI   u   v   x   y            C. 1 2   (   ) 2  OI   u   v   x   y             D. 1 2   (   ) 4  OI   u   v   x   y            Câu 7:   Cho hình lăng trụ tam giác 1   1   1 . ABC A B C   . Đặt 1   ,   ,   ,   , AA   a AB   b AC   c BC   d             trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?  A. 0 a   b   c   d             B. a   b   c   d          C. 0 b   c   d          D. a   b   c      Câu 8:   Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?  A. ,   , BD AK GF      B. ,   , BD IK GF    .  C. ,   , BD EK GF      D.   Các khẳng định trên đều sai.  Câu 9:   Trong các khẳng định sau, khẳng định nào   sai? A.   Nếu giá của ba vectơ , , a b c   cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.  B.   Nếu trong ba vectơ , , a b c   có một vectơ 0   thì ba vectơ đó đồng phẳng.  C.   Nếu giá của ba vectơ , , a b c   cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

429 câu trắc nghiệm chuyên đề quan hệ vuông góc trong không gian – Phạm Văn Huy

ST& BS: Th.S Đặ ng Vi  ng THPT Nho Quan A   Quan h    vuông góc – HH 11  Trang   1 Mua file Word liên h  : 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook:   https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/ST& BS: Th.S Đặ ng Vi  ng THPT Nho Quan A   Quan h    vuông góc – HH 11  Trang   2 Mua file Word liên h  : 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook:   https://www.facebook.com/dongpay - http://www.toanmath.com/  VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN  A – LÝ THUY   1. Đị nh ngh        nh ngh  t, các phép toán v    vectơ trong không gian đượ c xây d   t    như trong mặ t ph  ng.     Lưu    +   Qui t  m:   Cho ba điể m A, B, C b  t k  , ta có:                  AB   BC   AC  +   Qui t  c hình bình hành:   Cho hình bình hành ABCD, ta có:   AB   AD   AC                +   Qui t  c hình h  p:   Cho hình h  p ABCD. A  B  C  D  , ta có:   '   '                      AB   AD   AA   AC  +   Hê th  n th  ng:   Cho I là trung điể m c  n th  ng AB, O tu     Ta có:   0 IA   IB                 ;   2                OA   OB   OI  +   H    th  c tr  ng tâm tam giác:   Cho G là tr  ng tâm c  a tam giác ABC, O tu      0;   3                                           GA   GB   GC   OA   OB   OC   OG  +   H    th  c tr  ng tâm t    di  n:   Cho G là tr  ng tâm c  a t    di  n ABCD, O tu      0;   4                                                       GA   GB   GC   GD   OA   OB   OC   OD   OG  +    u ki    (   0)   !   :                         a vaø b cuøng phöông a   k   R b   ka  + Điểm M chia đoạ n th  ng AB theo t    s    k (k      1), O tu      ;   1                           OA   kOB MA   k MB   OM   k  2. S     ng ph  ng c      Ba vectơ đượ c g  ng ph  ng n  u các giá c  a chúng cùng song song v  i m  t m  t ph  ng.      u ki    ba vectơ đồ ng ph  ng:   Cho ba vectơ   ,   ,        a b c   , trong đó      a vaø b   không cùng  phương. Khi đó:   ,   ,        a b c    ng ph  ng       ! m, n      R:               c   ma   nb     Cho ba vectơ   ,   ,        a b c   không đồ ng ph  ng,     x   tu      Khi đó:    ! m, n, p      R:                    x   ma   nb   pc  3. Tích vô hướ ng c      Góc gi       0   0  ,   ( ,   )   (0   180 )                               AB   u AC   v   u v   BAC   BAC     Tích vô hướ ng c   + Cho   ,   0       u v   . Khi đó:   .   .   .cos( ,   )              u v   u   v   u v  + V  i   0   0               u   hoaëc v   . Qui ướ c:   .   0     u v  +   .   0                 u   v   u v  4. Các d  ng g  p: a) Ch  ng th   b) Ch  ng ph  ng và b  ng ph  ng, phân tích m  vectơ không đồ ng ph  ng.  + Để   ch  ng ph  ng, ta có th    ch  ng minh b  ng m  t trong các cách: - Ch  ng minh các giá c  i m  t m  t ph  ng. - D  u ki    ba vectơ đồ ng ph  ng: N  u có m, n      R:   c   ma   nb              thì   ,   , a b c          ng ph  ng  + Để   phân tích m    x     theo ba vectơ   ,   , a b c         không đồ ng ph  ng, ta tìm các s    m, n, p sao cho:  x   ma   nb   pc                  c) Tính tích vô hướ ng cu    hai véc tơ trong không   gian  d) Tính độ   dài c  n th 

Phân dạng và hướng dẫn giải bài toán quan hệ vuông góc trong không gian – Đặng Việt Đông

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP     Tổng hợp:   Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   1  TOÁN 11 1H3-2  Contents  A. CÂU HỎI   .................................................................................................................................................................... 1  DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ   ................................................................................................................................. 1  DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG  ................................................................................................................. 3  DẠNG 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC   ......................................................................................................... 11  B. LỜI GIẢI   ................................................................................................................................................................... 13  DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ   ............................................................................................................................... 13  DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG  ............................................................................................................... 18  DẠNG 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC   ......................................................................................................... 49  A. CÂU HỎI DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ  Câu 1.   (SỞ   GD&ĐT   PHÚ   THỌ   -   2018)   Cho hình chóp   . S ABC   có   2 BC   a =   , các cạnh còn lại đều bằng   a   . Góc giữa hai vectơ   SB     và   AC     bằng  A.   60    .   B.   120    .   C.   30    .   D.   90    .  Câu 2.   Cho tứ diện   ABCD   có         60 CAB   DAB =   =   O   ,   AB   AD   AC =   =   (tham khảo như hình vẽ bên). Gọi     là góc giữa   AB   và   CD   . Chọm mệnh đề    ?  A.   60 O     .   B.   1 cos   4     .   C.   90 O     .   D.   3 cos   4     .  Câu 3.   Cho hình lập phương   . ABCD A B C D             . Tính       os   , c   BD A C         A.       os   ,   0 c   BD A C          .   B.       os   ,   1 c   BD A C          .  C.         1 os   ,   2  c   BD A C          .   D.         2 os   ,   2  c   BD A C       =      .  HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓCCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP     Tổng hợp:   Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   2  Câu 4.   Cho hình chóp   . O ABC   có ba cạnh   OA   ,   OB   ,   OC      OA   OB   OC   a =   =   =   . Gọi  M   là trung điểm cạnh   AB   . Góc tạo bởi hai vectơ   BC      và   OM      bằng  A.   135    .   B.   150    .   C.   120    .   D.   60    .  Câu 5.   (Trường   THPT   Hoàng   Hoa   Thám   -   Hưng   Yên,   năm   2019)   Cho hình hộp chữ nhật .   '   '   '   ', ABCD A B C D   biết đáy   ABCD   là hình vuông. Tính góc giữa   ' A C   và   . BD  A.   0 90 .   B.   0 30 .   C.   0 60 .   D.   0 45 .  Câu 6.   (Chuyên   -   Vĩnh   Phúc   -   lần   3   -   2019)   Cho tứ diện   ABCD   có hai mặt   ABC   và   ABD   là các tam giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng   AB   và   CD   .  A.   90    .   B.   30    .   C.   120    .   D.   60    . Câu 7.   (THPT   Trần   Phú   -   Lần   1   -   2018-2019)   Cho tứ diện đều   ABCD   có cạnh bằng   a   . Giá trị tích vô hướng       AB   AB   CA            bằng  A.  2 2  a   .   B.  2   2 2  a   .   C.  2   3 2  a   .   D.  2 3 2  a   .  Câu 8.   Cho hình lăng trụ tam giác đều   . ABC A B C          có tất cả các cạnh đều bằng   a   , cosin góc giữa hai    AB    và   BC    bằng  A.   1 4   .   B.   2 4   .   C.   1 2   .   D.   3 4   .  Câu 9.   Cho hình chóp   . O ABC   có ba cạnh   ,   , OA OB OC      OA   OB   OC   a          . Gọi  M   là trung điểm cạnh   AB   . Góc hợp bởi hai véc tơ   BC      và   OM      bằng  A.   120    .   B.   150    .   C.   135    .   D.   60    .  Câu 10.   Cho hình lăng trụ   . ABC A B C          có đáy   ABC   là tam giác đều cạnh   a   , tam giác   A BC     trong mặt phẳng vuông góc với       ABC   .   M   là trung điểm cạnh   CC    . Tính cosin góc     giữa hai    AA    và   BM   .  A.   2   22  os   11  c     .   B.   33  os   11  c     .   C.   11  os   11  c     .   D.   22  os   11  c     .  Câu 11.   Cho tứ diện   ABC D.   Gọi   M   ,   N   lần lượt là trung điểm của   BC   ,   AD   . Biết   2 AB   a =   ,   2   2 CD   a =  và   5. MN   a =   Số đo góc giữa hai đường thẳng   AB   và   CD   là  A.   60    .   B.   30      .   C.   90      .   D.   45    .  Câu 12.   (THPT   THUẬN   THÀNH   1)   Cho hình chóp   . S ABC   có   SA   SB   SC   AB   AC   a =   =   =   =   =   và góc     30 . CAB   =      Côsin góc tạo bởi hai đường thẳng   AB   và   SC   gần nhất với giá trị nào sau đây?  A.   0,83.   B.   0,37.   C.   0, 45.   D.   0, 71.  A   D  C B A'   D' C' B'

Bài tập trắc nghiệm hai đường thẳng vuông góc có đáp án và lời giải

1 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679  MỤC LỤC  CHƯƠNG 3   Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc   3  1   Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ   3 A   Tóm tắt lí thuyết   3 B   Một số dạng toán   4 C   Bài tập ôn luyện   16 D   Bài tập trắc nghiệm   25 2   Hai đường thẳng vuông góc   32 A   Tóm tắt lí thuyết   32 B   Một số dạng toán   32 C   Bài tập ôn luyện   39 D   Bài tập trắc nghiệm   45 3      56 A   Tóm tắt lí thuyết   56 B   Phương pháp giải toán   58 C   Bài tập ôn luyện   72 D   Bài tập trắc nghiệm   82 4   Hai mặt phẳng vuông góc   93 A   Tóm tắt lí thuyết   93 B   Một số dạng toán   95 C   Bài tập ôn-luyện   105 D   Bài tập trắc nghiệm   118  MỤC LỤC2 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679  5   Khoảng cách   133 A   Tóm tắt lí thuyết   133 B   Một số dạng toán   134 C   Bài tập ôn luyện   144 D   Bài tập trắc nghiệm   153    166 A   Bộ đề số 1   166 B   Bộ đề số 2   176 C   Bộ đề số 3   188 D   Bộ đề số 4   197 E   Bộ đề số 5   206 F   Bài tập tự luận ôn tập chương   217  MỤC LỤC

Vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc – Nguyễn Tài Chung

   L A TEX Hóa      Nguyễn Hữu Nhanh Tiến   h   /ToanTienNhanh  Hướng tới kì thi THPTQG 2019  GÓC - KHOẢNG CÁCH   1.   Các dạng toán liên quan đến tính Góc  1. 1   Góc giữa hai đường thẳng  Góc giữa hai đường thẳng   a   và   b   trong không gian là góc giữa hai đường thẳng   a    và   b    cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với   a   và   b .  a  a   b  b   O  L      a   và   b   ta có thể lấy điểm   O   thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua   O   và song song với đường thẳng còn lại.  L   Nếu   #» u   và   #» v   lần lượt là vec-tơ chỉ phương của   a   và   b , đồng thời   (   #» u ,   #» v   ) =      thì góc giữa hai    a   và   b   bằng      nếu   0             90    và bằng   180          nếu   90    < α      180  .  L   Nếu   a   và   b   là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng   0  .  ! Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Ta thường có hai phương pháp để giải quyết cho dạng toán này.     Phương pháp 1:   Sử dụng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, kết hợp sử dụng hệ thức lượng trong tam giác (định lý   cos , công thức trung tuyến).     Phương pháp 2:   Sử dụng tích vô hương của hai vec-tơ.  Ví dụ 1.  161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế   1   TT Quốc Học Huế   L A TEX Hóa      Nguyễn Hữu Nhanh Tiến   h   /ToanTienNhanh  Cho tứ diện   ABCD   có   AB   vuông góc với mặt phẳng  ( BCD ) . Biết tam giác   BCD   vuông tại   C   và   AB   =   a  6 2   ,  AC   =   a  2 ,   CD   =   a . Gọi   E   là trung điểm của   AC   (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng   AB   và   DE  bằng  A .   45  .   B .   60  .   C .   30  .   D .   90  .   B   D  E  A  C     Hướng dẫn giải:  Gọi   I   là trung điểm của   BC , suy ra   EI      AB . Khi đó   ( AB, DE ) = ( EI, ED ) =      IED . Ta có      DC      BC   ( giả thiết )  DC      AB   ( AB      ( BCD ))     DC      ( ABC ) , suy ra   DC   vuông góc với   EC . Do đó  DE 2   =   CD 2   +   EC 2   =   CD 2   +   AC 2  4   = 3 a 2  2      DE   =   a  6 2   .  Ta có   IE   =   AB  2   =   a  6 4   và   BC 2   =   AC 2      AB 2   =   a 2  2   .  Tam giác   ICD   vuông tại   C   nên  DI 2   =   CD 2   +   IC 2   =   CD 2   +   BC 2  4   = 9 a 2  8   . B   D E A C I     IDE , ta có  cos      IED   =   IE 2   +   DE 2      CD 2  2 IE      DE   = 3 a 2  8   + 3 a 2  2      9 a 2  8 2      a  6 4      a  6 2 = 1 2         IED   = 60  .  Vậy góc giữa hai đường thẳng   AB   và   DE   bằng   60  .  !   Có thể chứng minh   EI   vuông góc với mặt phẳng   ( BCD ) , suy ra tam giác   EID   vuông tại   I    tính góc      IED     Ví dụ 2.   Cho tứ diện   ABCD   có   AB   vuông góc với mặt phẳng   ( BCD ) . Biết tam giác   BCD  vuông tại   C   và   AB   =   a  6 2   ,   AC   =   a  2 ,   CD   =   a . Gọi   E   là trung điểm của   AD   (tham khảo hình vẽ dưới đây).  161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế   2   TT Quốc Học Huế